অসীম বা ইনফিনিটির কি সত্যিই কোনো শেষ আছে, নাকি অসীমের মধ্যেও রয়েছে আরও বড় অসীম—এই প্রশ্ন বহুদিন ধরেই গণিতবিদদের ভাবিয়ে তুলেছে। সাধারণ চোখে এটি ধাঁধা মনে হলেও গণিতের জগতে এটি অত্যন্ত গভীর ও গুরুত্বপূর্ণ গবেষণার বিষয়।
গণিতবিদেরা দীর্ঘদিন ধরে অসীমকে একটি সিড়ি বা মইয়ের সঙ্গে তুলনা করে ব্যাখ্যা করে আসছেন। স্বাভাবিক সংখ্যা ১, ২, ৩-এর মতো অসীম সেটটি থাকে এই মইয়ের এক ধাপে। তার ওপরে অবস্থান করে বাস্তব সংখ্যার অসীম সেট, যেখানে দশমিক ও ঋণাত্মক সংখ্যাও অন্তর্ভুক্ত। এভাবে অসীম ধাপে ধাপে আরও বড় আকার ধারণ করে।
সম্প্রতি ভিয়েনা ইউনিভার্সিটি অব টেকনোলজি এবং ইউনিভার্সিটি অব বার্সেলোনার গবেষকেরা এই ধারাবাহিকতার ভেতর দুটি নতুন স্তরের সন্ধান পেয়েছেন। এই নতুন দুই ধরনের অসীম গণিতের প্রচলিত নিয়ম মানছে না বলেই গবেষকদের দাবি।
নতুন এই অসীমগুলোকে এক্সাক্টিং এবং আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনাল নামে অভিহিত করা হয়েছে। এগুলো আগের পরিচিত লার্জ কার্ডিনাল ধারণার সঙ্গে পুরোপুরি খাপ খায় না। ফলে অসীম সম্পর্কে গণিতবিদদের দীর্ঘদিনের ধারণাকে নতুন করে ভাবতে হচ্ছে।
গণিতের ভাষায়, অসীমের বিভিন্ন স্তর ব্যাখ্যা করতে লার্জ কার্ডিনাল অ্যাক্সিওম ব্যবহার করা হয়। এসব স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে অসীমের ক্ষমতা ও সীমা নির্ধারণ করা হয়। মইয়ের একেবারে নিচে রয়েছে স্বাভাবিক সংখ্যার অসীম, যাকে আলেফ-নাল বলা হয়। এর ওপরে রয়েছে আরও জটিল ও শক্তিশালী অসীম ধারণা।
কিন্তু এক্সাক্টিং এবং আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনাল এই ধারাবাহিক কাঠামো ভেঙে দিচ্ছে। গবেষকদের মতে, এসব নতুন কার্ডিনাল এতটাই শক্তিশালী যে প্রচলিত গাণিতিক সূত্র দিয়ে তাদের অস্তিত্ব প্রমাণ করা যায় না। নতুন স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে এগুলোকে মেনে নিতে হচ্ছে।
এই আবিষ্কার গণিতের মৌলিক কাঠামোতেই বড় ধরনের প্রভাব ফেলতে পারে। বিশেষ করে এইচওডি কনজেকচার নামে পরিচিত একটি ধারণা, যা অসীমকে একটি বৃহত্তর শৃঙ্খলার মধ্যে রাখার কথা বলে, তা নতুন করে প্রশ্নের মুখে পড়েছে। গবেষণায় দেখানো হয়েছে, এই নতুন কার্ডিনালগুলোর অস্তিত্ব গাণিতিক মহাবিশ্বকে অনেক বেশি বিশৃঙ্খল রূপে তুলে ধরে।
গবেষকদের মতে, এই আবিষ্কারের প্রভাব শুধু তাত্ত্বিক গণিতেই সীমাবদ্ধ থাকবে না। ক্রিপ্টোগ্রাফি, কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা এবং মহাকাশতত্ত্বের মতো ক্ষেত্রেও এর দীর্ঘমেয়াদি প্রভাব পড়তে পারে। আধুনিক কম্পিউটার সায়েন্স যে যুক্তির ওপর দাঁড়িয়ে আছে, এই নতুন অসীম ধারণা সেই ভিত্তিকেই নতুন করে পর্যালোচনার দিকে ঠেলে দিচ্ছে।
এই গবেষণার ফলাফল প্রি-প্রিন্ট সার্ভার আরজিভেতে প্রকাশিত হয়েছে, যা গণিতের জগতে অসীম ধারণা নিয়ে নতুন আলোচনার সূত্রপাত করেছে।
সিএ/এমআর
